Поступальний і обертовий рух твердого тіла. Миттєва вісь обертання. Вільні вісі. Рівняння динаміки обертового руху твердого тіла. Момент інерції. Обчислення моментів інерції тіл різної форми. Теорема Штейнера-Гюйгенса. Поняття про тензор інерції.
8.1. Тверде тіло – це система матеріальних точок, відстані між якими незмінні.
8.2. Поступальним рухом твердого тіла називають такий рух, при якому будь-яка лінія, що з’єднує дві довільні точки тіла, зберігає незмінною свою орієнтацію в просторі.
8.3. Обертальним рухом називають такий рух, при якому траєкторії всіх точок є концентричні кола, центри яких лежать на одній прямій, що називається віссю обертання.
8.4. Рух точки називають плоским, якщо її траєкторія представляє собою плоску криву.
8.5. Розглядаючи рух твердого тіла ми можемо замінити його на рух точки, маса якої дорівнює масі тіла і яка рухається під дією головного вектора зовнішніх сил.
8.6. Центр мас – це точка прикладання всіх масових сил, тобто сил, пропорційних до маси елементів тіла, на яке ці сили діють, при умові, що всі сили паралельні.
8.7. Вісь, положення якої в просторі не змінюється при обертанні тіла навколо неї у відсутності зовнішніх сил, називають вільною віссю тіла.
Можна довести, що для тіла довільної форми з довільним розподілом маси існують три взаємно-перпендикулярні вісі такі, що проходять через центр мас тіла і є вільними осями. Вони називаються головними осями інерції тіла.
8.8. Теорема Штейнера: момент інерції І відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції Іс відносно осі, яка паралельна даній, проходячи через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.
8.9. Моменти інерції відносно головних осей називають головними моментами інерції тіла. В загальному випадку ці моменти різні I1¹ I2¹ I 3 . Для тіла з осьовою симетрією два головних моменти інерції мають однакову величину, третій-же відмінний від них. А у випадку тіла з центральною симетрією всі три – однакові.
8.10. Якщо тіло обертається в умовах, коли який-небудь вплив ззовні відсутній, то стійким виявляється лише обертання навколо осей, які відповідають найбільшому та найменшому моментам інерції.
Обертання твердого тіла навколо довільної точки закріплення. Головні вісі та головні моменти інерції. Закон збереження моменту імпульсу. Кінетична енергія твердого тіла, що рухається поступально і обертається. Маятник Максвела. Гіроскоп. Гіроскопічний ефект. Вільний та невільний гіроскопи. Прецесія, нутація. Застосування гіроскопів.
8.11. Опис обертання твердого тіла навколо довільної точки закріплення дає
тензор інерції :
8.12. Якщо вісі системи координат напрямлені вздовж головних осей інерції тіла, то тензор інерції приймає діагональний вигляд.
8.13. Через довільну точку твердого тіла можна провести три взаємно перпендикулярні головні вісі. Головні моменти інерції будуть різними для різних точок тіла. Якщо головні вісі проведені через центр мас тіла, то вони називаються центральними головними осями.
8.14. Аксіально-симетричне тіло, яке швидко обертається навколо своєї осі симетрії називається гіроскопом.
8.15. Вільним називається гіроскоп, вісь якого може обертатися в будь-якому напрямку так, ніби-то він закріплений в точці центра мас.
8.16. Обертання вісі гіроскопа під дією сили називається прецесією.
Момент сили визначає швидкість прецесії, а не прискорення руху осі гіроскопа. Тому усунення дії сили веде до припинення руху осі. Кутова швидкість обертання осі називається кутовою швидкістю прецесії, вона дорівнює відношенню моменту сил до моменту кількості руху.
8.17. Нутація виникає, якщо кутова швидкість обертання тіла не співпадає з віссю симетрії тіла. ( Це можливо, якщо припустити це при запуску обертання або тіло є неоднорідним ).
8.18. Якщо вісь гіроскопа закріплена в двох точках, то він може рухатися лише в одній площині. Такий гіроскоп називається невільним.