Свойства кривых Безье

Кривые Безье любой степени обладают следующими важными свойствами. П Начальная и конечная контрольные точки лежат на кривой.

• Кривая на всем протяжении непрерывна, у нее отсутствуют разрывы. Это важнейшее свойство, без которого кривая Безье вообще бы не рассматривалась.
  
• Касательные к кривой в начальной и конечной контрольных точках являются отрезками, соединяющими их с другими двумя соседними контрольными точками, через которые в общем случае кривая не проходит.
  
• Точки на краях касательных будут располагаться на кривой только в том случае, если последняя представляет собой прямую линию.
  
• Поскольку кривая Безье представляет собой взвешенное усреднение всех ее контрольных точек с положительными весами, а сумма их равна единице, кривая всегда располагается внутри выпуклого многоугольника из ее контрольных точек (рис. 12.20), как и рассмотренная выше NURBS-кривая.
  

Рис. 12.20. Кривая в выпуклом многоугольнике

• Кривую Безье можно рассматривать как пошаговое уточнение формы многоугольника, получаемого последовательным соединением ее контрольных точек (рис. 12.21—12.24). При этом кривая Безье начинается и заканчивается в конечных точках данного многоугольника, а форма определяется относительным расположением оставшихся точек, через которые в общем случае она не проходит.
  

Исходя из этого можно представить канонический вид кривой Безье, который обычно используется в графических редакторах плоской графики.

Рис. 12.21. Первый этап аппроксимации кривой

Рис. 12.22. Второй этап аппроксимации кривой

Рис. 12.23. Третий этап аппроксимации кривой

Рис. 12.24. Итоговая ломаная кривая