Content-Type: multipart/related; start=<op.mhtml.1292529987893.b85451686a12f20d@192.168.1.2>; boundary=----------B5oz31FYdr3Y7ITjMrpfKP
Content-Location: http://e-lib.gasu.ru/eposobia/metody/R_4_7.html
Subject: =?utf-8?Q?=D0=9F=D1=80=D0=B0=D0=B2=D0=B8=D0=BB=D0=BE=20=D0=A0=D1=83=D0=BD=D0=B3=D0=B5=20=D0=BE=D1=86=D0=B5=D0=BD=D0=BA=D0=B8=20=D0=BF=D0=BE=D0=B3=D1=80=D0=B5=D1=88=D0=BD=D0=BE=D1=81=D1=82=D0=B8.=20=D0=AD=D0=BA=D1=81=D1=82=D1=80=D0=B0=D0=BF=D0=BE=D0=BB=D1=8F=D1=86=D0=B8=D1=8F=20=D0=A0=D0=B8=D1=87=D0=B0=D1=80=D0=B4=D1=81=D0=BE=D0=BD=D0=B0.?=
MIME-Version: 1.0

------------B5oz31FYdr3Y7ITjMrpfKP
Content-Disposition: inline; filename=R_4_7.html
Content-Type: text/html; charset=koi8-r; name=R_4_7.html
Content-ID: <op.mhtml.1292529987893.b85451686a12f20d@192.168.1.2>
Content-Location: http://e-lib.gasu.ru/eposobia/metody/R_4_7.html
Content-Transfer-Encoding: 8bit

<html>
<head>
<title>Правило Рунге оценки погрешности. Экстраполяция Ричардсона.</title>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="style.css">
</head>
<body>
<h2 align=center>Правило Рунге оценки погрешности. Экстраполяция Ричардсона.</h2>
<p align=justify>Приведенная формула (4.25) для оценки погрешности квадратурных
формул использует значения производных подинтегральной функции, что
требует дополнительного анализа и вычислений. В связи 
с этим получило распространение <i> практическое</i> 
правило Рунге оценки погрешности. 

<p align=justify>Идея состоит в том, чтобы организовав вычисления 
значений интеграла по нескольким семействам (множествам) 
узлов, затем сравнить результаты вычислений и получить 
оценку погрешности. Наиболее удобное правило связано с 
вычислением интеграла дважды: <i>L<sub><small>N</sub></small></small></i>[<i>f</i>], <i>L<sub><small>2N</sub></small></small></i>[<i>f</i>].

<center>Правило Рунге оценки погрешности <i>R<sub><small>2N</sub></small></i>[<i>f</i>]:</center>

<table width=100% border=0>
 <td align=center><i>R<sub><small>2N</sub></small></i>[<i>f</i>] &#8776; (<i>L<sub><small>2N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] - <i>L<sub><small>N</sub></small></i>[<i>f</i>] ) / ( 2<sup><small><i>p</i></small></sup> -1 )</td>
 <th align=right>(4.32)</th>
</table>

где <i>p</i> - порядок погрешности квадратурной формулы.

<p align=justify><tt><u>Определение</u> 4.7</tt>
Оценка погрешности, которая находится до решения задачи, называется <i> априорной</i>.

<p align=justify>Такую оценку дает теорема о погрешности.

<p align=justify><tt><u>Определение</u> 4.8</tt>
Оценка погрешности, которая находится после решения задачи, называется <i> апостериорной</i>.

<p align=justify>Эту оценку дает правило Рунге.

<p align=justify>После подсчета величин <i>L<sub><small>N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] и <i>L<sub><small>2N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] кроме оценки погрешности по
правилу Рунге можно также дополнительно уточнить приближенное значение  интеграла.
Величина 
<table width=100% border=0>
 <td align=center><i>L<sup><small>*</sup></small><sub><small>2N</sub></small></i>[<i>f</i>] = (2<sup><small><i>p</i></small></sup><i>L<sub><small>2N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] - <i>L<sub><small>N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] ) / ( 2<sup><small><i>p</i></small></sup> -1 )</th>
 <th align=right>(4.33)</th>
</table>

называется <i> уточненным (или экстраполированным) по Ричардсону</i> значением 
искомого интеграла.

<p align=justify>Погрешность <i>L<sub><small>N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] - <i>L<sup><small>*</sup></small><sub><small>2N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] имеет более высокий порядок 
относительно <i>h</i>, чем
<i>L</i>[<i>f</i>]-<i>L<sub><small>N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] (и, соответственно, <i>L</i>[<i>f</i>]-<i>L<sub><small>2N</sub></small></small></i>[<i>f</i>]). 
Именно, если <br><i>L</i>[<i>f</i>]-<i>L<sub><small>N</sub></small></small></i>[<i>f</i>]=<i>ch<sup><small>p</sup></small>+O(h<sup><small>p+l</sup></small>)</i>, где <i>l > 0 </i>
и константа <i>c</i>&#8800;	0  не зависит от <i>h</i>,
то <br><i>L<sub><small>N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] - <i>L<sup><small>*</sup></small><sub><small>2N</sub></small></small></i>[<i>f</i>]=<i>O(h<sup><small>p+l</sup></small>)</i>. 
Более подробно эти вопросы разобраны в работе <a href=liter.html>[6]</a>.

<p align=justify>Для практического вычисления интеграла <i>L</i>[<i>f</i>] с заданной точностью 
&#949
выбирается некоторое начальное число <i>N</i> разбиений  отрезка [<i>a,b</i>] и 
вычисляются величины <i>L<sub><small>N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] и <i>L<sub><small>2N</sub></small></small></i>[<i>f</i>]. Если 
|<i>R<sub><small>2N</sub></small></small></i>[<i>f</i>]| &le; &#949,
то с точностью &#949 
полагают <i>L</i>[<i>f</i>]&#8776;<i>L<sub><small>2N</sub></small></i>[<i>f</i>]
(либо более точно <i>L</i>[<i>f</i>]&#8776;<i>L<sup><small>*</sup></small><sub><small>2N</sub></small></i>[<i>f</i>]).
В противном случае
вычисляют значение <i>L<sub><small>4N</sub></small></small></i>[<i>f</i>] и сравнивают |<i>R<sub><small>4N</sub></small></small></i>[<i>f</i>]| и
&#949, и т.д.

------------B5oz31FYdr3Y7ITjMrpfKP
Content-Disposition: inline; filename=style.css
Content-Type: text/css; charset=koi8-r; name=style.css
Content-Location: http://e-lib.gasu.ru/eposobia/metody/style.css
Content-Transfer-Encoding: 8bit

A:active {color: #f90000}
A:link {color: #000080}
A:visited {color: #800080}
A:hover {color: #012F55}
body {background-color: #f0f8ff}
h2 {color: #000000; font-family: "Times New Roman", Times, serif; text-align: center}
h3 {color: #000000; font-family: "Times New Roman", Times, serif; text-align: center}
h4 {color: #000000; font-family: "Times New Roman", Times, serif; text-align: center}
p {color: #000000; font-family: "Times New Roman", Times, serif; font-size: 12pt; font-style: normal; text-indent: 20pt; padding-right: 5px; padding-left: 5px; margin-top: 0px; margin-bottom: 0px}
font: bold
------------B5oz31FYdr3Y7ITjMrpfKP--
