###

##1. Невласні інтеграли 1-го роду: означення, зв^/язок з рядями. застосування ссновної теореми інтегрального числення.

##2. Невласні інтеграли 1-го роду: основні властивості

##3. Невласні інтеграли 1-го роду: збіжність у випадку додатної підінтегральної функції. 1 теорема порівняння.

##4. Невласні інтеграли 1-го роду: збіжність у випадку додатної підінтегральної функції. 2 теорема порівняння.

##5. Збіжність

##6. Невласні інтеграли 1-го роду: збіжність у випадку підінтегральної функції довільного знаку. Критерій Коші. Абсолютна збіжність. Теорема.

##7. Ознака Абеля збіжності невласного інтегралу 1-го роду: означення: збіжність у підінтегральної функції довільного знаку.

##8. Ознака Діріхле збіжності невласного інтегралу 1-го роду: означення: збіжність у підінтегральної функції довільного знаку.

##9. Невласні інтеграли 2-го роду: означення, збіжність,. застосування ссновної теореми інтегрального числення.

##10. Невласні інтеграли 2-го роду: основні властивості (теореми 1, 2).

##11. Невласні інтеграли 2-го роду: основні властивості (теореми 3, 4).

##12. Невласні інтеграли 2-го роду: збіжність у випадку додатної підінтегральної функції. 1 теорема порівняння.

##13. Невласні інтеграли 2-го роду: збіжність у випадку додатної підінтегральної функції. 2 теорема порівняння.

##14. Збіжність

##15. Невласні інтеграли 2-го роду: збіжність у випадку підінтегральної функції довільного знаку. Критерій Коші. Абсолютна збіжність. Теорема.

##16. Ознака Абеля збіжності невласного інтегралу 2-го роду: означення: збіжність у підінтегральної функції довільного знаку.

##17. Ознака Діріхле збіжності невласного інтегралу 2-го роду: означення: збіжність у підінтегральної функції довільного знаку.

##18. Загальні властивості невласних інтегралів.

##19. Інтегрування частинами та заміна змінних у невласних інтегралах.

##20. Головне значення розбіжного інтегралу.

##21. Власні інтеграли, залежні від параметра. Теорема про неперервність . Наслідки.

##22. Диференціювання власного інтеграла, залежного від параметра (всі випадки).

##23. Інтегрування власного інтеграла, залежного від параметра.

##24. Невласні інтеграли, залежні від параметра: означення, рівномірна збіжність, зв^/язок з ф.п. та ф.р. (теорема). Критерій Коші.

##25. Ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності невласного інтеграла, залежного від параметра.

##26. Ознака Абеля рівномірної збіжності невласного інтеграла, залежного від параметра.

##27. Ознака Діріхле рівномірної збіжності невласного інтеграла, залежного від параметра.

##28. Неперервність невласного інтеграла, залежного від параметра.

##29. Інтегрування невласного інтеграла, залежного від параметра (всі випадки).

##30. Диференціювання невласного інтеграла, залежного від параметра.

##31. Інтеграли Ейлера: Г(а), В(а,в) – області збіжності та рівномірної збіжності.

##32. Інтеграли Ейлера: Г(а) – формула пониження.

##33. Інтеграли Ейлера: В(а,в) – симетрія, формула пониження.

##34. Різні форми запису для В(а,в).

##35. Зв^/язок між В(а,в) та Г(а).

##36. Інтеграли Ейлера: формула доповнення.

##37. Інтеграл Фур^/є: поняття, означення. Теорема про представлення функції інтегралом Фур^/є.

##38. Комплексна форма запису інтеграла Фур^/є.

##39. Інтеграл Фур^/є для парних та непарних функцій.

##40. Перетворення Фур^/є. Теорема.

##41. sin- та cos-перетворення Фур^/є.

##42. Межові, внутрішні, граничні точки, область і т.д. Теорема про віддільність 2-ох замкнених множин.

##43. Площа плоскої фігури (міра Жордана). Теореми 1 та 1^/ про умови квадровності в різних термінах.

##44. Лема про рівність нулю площі спрямної кривої. Властивості площі.

##45. Означення та необхідна умова існування подвійного інтегралу.

##46. Властивості подвійних інтегралів.

##47. Суми Дарбу та їх властивості (для подвійного інтегралу). Критерій існування подвійного інтегралу.

##48. Класи інтегрованих функцій для подвійних інтегралів.

##49. Адитивна функція області. Похідна по площі.

##50. Застосування подвійних інтегралів.

##51. Обчислення подвійного інтегралу у випадку прямокутної області інтегрування.

##52. Обчислення подвійного інтегралу у випадку прямокутної області інтегрування.

##53. Обчислення подвійного інтегралу у випадку криволінійної області інтегрування.

##54. Відображення областей. Криволінійні координати. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Полярні координати.

##55. Об^/єм просторової області (міра Жордана). Кубовні тіла, теореми, властивості кубовних тіл.

##56. Визначенн потрійних інтегралів та їх властивості.

##57. Суми Дарбу та їх властивості для потрійного інтегралу.

##58. Умови існування потрійного інтегралу.

##59. Потрійний інтеграл як адитивна функція області. Похідна по об^/єму.

##60. Застосування потрійних інтегралів.

##61. Обчислення потрійного інтегралу у випадку, коли область інтегрування - паралелипіпед.

##62. Обчислення подвійного інтегралу у випадку довільної області інтегрування.

##63. Відображення областейу просторі . Криволінійні координати. Заміна змінних у потрійному інтегралі.

##64. Циліндричні координати.

##65. Сферичні координати.

#4 Невласні інтеграли 1-го роду: збіжність у випадку додатної підінтегральної функції. 2 теорема порівняння.

Нехай і . Тоді визначено функцію , де

(1)

Якщо існує , то називається інтегрованою за Ріманом на проміжку (в невласному розумінні), а число її невласним інтегралом першого ряду. При цьому позначають

(2)

Якщо вказана границя не існує, або дорівнює нескінченності, то кажуть, що відповідний невласний не існує, чи розбігається.

Теорема 2.	(Ознака порівняння)
	Нехай функції , невід’ємні, неперервні на області визначення за винятком множин лебегової міри нуль. Якщо : виконується нерівність , то із збіжності слідує збіжність , і з розбіжності слідує розбіжність .

Доведення. маємо: слідує все що треба.

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(Інтегральна ознака збіжності числового ряду)
	Нехай невід’ємна функція неперервна в кожній точці області визначення за виключенням множини лебегової міри нуль, то інтеграл збігається тоді і тільки тоді, коли : для якої ряд - збіжний.

Доведення. З теореми 1 із збіжності інтегралу слідує збіжність ряду для будь-якої послідовності , таким чином необхідність доведена. Для доведення достатності використаємо умову невід’ємності функції . , а тому - монотонна й обмежена, з чого і слідує, що - збіжний.

Теорема доведена.

#5 Збіжність

Невласні інтеграли від степеневої функції. Проінтегруємо степеневу функцію по відрізку [a,b], де 0<a<b. У результаті отримаємо

Виходячи з формули , неважко зробити висновки про збіжність чи розбіжність невласних інтегралів першого й другого родів від степеневої функції прирізних значення параметра p

При p<1 розбігається

при p=1

при p>1 збігається

#6 Невласні інтеграли 1-го роду: збіжність у випадку підінтегральної функції довільного знаку. Критерій Коші. Абсолютна збіжність. Теорема.

1. Невласні інтеграли

Нехай і . Тоді визначено функцію , де

(1)

(2)

Повністю аналогічно, для функції , якщо і існує

, то .

Теорема 1.

(Критерій Коші)

Інтеграл збігається рівномірно на інтервалі тоді і тільки тоді, коли

(6)

Доведення. Необхідність. Нехай рівномірно збігається, тобто для нього виконується умова (4), з неї слідує, що :

, .

Необхідність доведена.

Достатність. Якщо виконується умова (6), з урахуванням збіжності маємо: . Тепер переходимо до супремуму по і маємо потрібне, враховуючи що - довільне і .

Теорема доведена.

Теорема Якщо для функції збігається інтеграл , то називається абсолютно збіжним. Не абсолютно збіжний інтеграл називається умовно збіжним.

Теорема 3.	(Зв’язок абсолютної та умовної збіжності інтегралу)
	Якщо абсолютно збігається, то він збіжний.

Доведення. Використаємо критерій Коші. Все слідує з умови

та нерівності .

#7.Ознака Абеля збіжності невласного інтегралу 1-го роду: означення: збіжність у підінтегральної функції довільного знаку.

Нехай функції , такі, що - збігається, а функція - монотонна й обмежена, то - збігається.

Функцію довільного знаку можно представити у вигляді різниці двох невідємних функцій:

Ф(х) = ф⁺ (х) - ф^- (х)

#8.Ознака Діріхле збіжності невласного інтегралу 1-го роду: означення: збіжність у підінтегральної функції довільного знаку.

Нехай функції , такі, що - обмежений, а функція - монотонно прямує до нуля, то - збігається.

Функцію довільного знаку можно представити у вигляді різниці двох невідємних функцій:

Ф(х) = ф⁺ (х) - ф^- (х)

#9.Невласні інтеграли 2-го роду: означення, збіжність,. застосування основної теореми інтегрального числення.

Нехай , і особлива точка функції . Нехай необмежена на , але обмежена на і . Позначимо , то називається інтегрованою за Ріманом на проміжку , а число її невласним інтегралом другого роду. Тоді невласний інтеграл позначають і називають збіжним.

Якщо у функції ф(х) існує первісна Ф(х), то

І = ∫_a^b ф(х) dх = Ф(b) – Ф(a). – основна формула інтегрального числе

#10.Невласні інтеграли 2-го роду: основні властивості (теореми 1, 2).

Теорема 1 (Критерій коші)

існує : : , виконується нерівність .

Теорема 2 (практична ознака збіжності)

Нехай , .

Якщо : , то -збіжний.

Якщо : не існує.

#11 Невласні інтеграли 2-го роду: основні властивості (теореми 3, 4).

#12 (#13) Невласні інтеграли 2-го роду: збіжність у випадку додатної підінтегральної функції. 1 теорема порівняння.

#13. Невласні інтеграли 2-го роду: збіжність у випадку додатної підінтегральної функції. 2 теорема порівняння.

(c)Горбаченко В.А. Конспект Моторной. Оригинал Карпович Вита

#14. Збіжність

(c)Горбаченко В.А. Конспект Моторной. Оригинал Карпович Вита

#15. Невласні інтеграли 2-го роду: збіжність у випадку підінтегральної функції довільного знаку. Критерій Коші. Абсолютна збіжність. Теорема.

(c)Горбаченко В.А. Конспект Моторной. Оригинал Карпович Вита

Критерії Коші. для збіжності такого інтеграла необхідно і достатньо

Теорема.

Озн. називається абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл від модуля функції

#16.

Ознака Абеля збіжності невласного інтегралу 2-го роду: означення: збіжність у підінтегральної функції довільного знаку.

Нехай функції , такі, що - збігається, а функція - монотонна й обмежена, то - збігається.

Доведення. За другою теоремою про середнє внаслідок монотонності функції можемо записати рівність

. Якщо записати критерій Коші збіжності інтегралу , то , а тому .

Теорема доведена.

#17.

Ознака Діріхле

Нехай функції , такі, що - обмежений, а функція - монотонно прямує до нуля, то - збігається.

Доведення. За другою теоремою про середнє внаслідок монотонності функції можемо записати рівність

. Якщо записати критерій Коші збіжності функції до нуля, то , а тому .

Теорема доведена.

#19: Інтегрування частинами(а) та заміна змінних(б) у невласних інтегралах

А) Нехай функції , диференційовані в кожній точці області визначення та їх похідні неперервні скрізь, за виключенням множини точок лебегової міри нуль, і крім того існує . За цих умов із збіжності одного з інтегралів , слідує збіжність іншого і при цьому виконується рівність

, яку називають формулою інтегрування частинами для невласного інтегралу першого роду.

Доведення. Все слідує з аналогічної формули для інтегралу Рімана (власного) інтегралу: . Далі граничний перехід при .

Б) Нехай функція , функція диференційована, зростаюча, а її похідна неперервна в кожній точці , за виключенням множини лебегової міри нуль, а також , . Якщо - збігається, то і при цьому виконується рівність:

, яку називають формулою заміни змінної в невласному інтегралі першого роду.

Доведення. Ця теорема також є наслідком аналогічної властивості для інтегралу Рімана. : , де (внаслідок неперервності та монотонності функції )

, ну а далі граничний перехід при одночасному прямуванні до нескінченносты

#20: Головне значення розбіжного інтегралу

Нехай , функція інтегрована , та інтеграл розбігається, але існує , то цю границю називають головним значенням у розумінні Коші розбіжного інтеграла і позначають .

#21: Власні інтеграли, залежні від параметра(а). Теорема про неперервність(б) . Наслідки(в)

А) Нехай , де , , інтегрована за Ріманом на сегменті функція. Тоді на інтервалі визначимо функцію : яку ми назвемо інтегралом Рімана, залежним від параметра

Б) Якщо функція неперервна на , то .

Доведення. Нехай - довільна точка цього проміжку, розглянемо звуження , де . З того, що - компакт - рівномірно неперервна на . Тому

, що й доводить неперервність в точці внаслідок довільності з цього й слідує, що .

В) В умовах попередньої теореми має місце рівність:

#22. Диференціювання власного інтеграла, залежного від параметра (всі випадки).

Теорема 3.	(Диференційованість ІЗП)
	Якщо функція має на неперервну часткову похідну , то функція (з(1)) диференційована на і її похідна обчислюється таким чином:
		(4)
	(формула Лейбниця)

Доведення. За теоремою 1 є неперервною функцією на , треба довести диференційованість та рівність , це означає, що треба довести співвідношення:

(5)

Зафіксуємо довільне , і як в теоремі 1 виберемо сегмент , який містить і позначимо . З рівномірної неперервності на ми маємо, що : : .

Застосовуючи теорему про середнє, будемо мати, якщо :

, так як середня точка між і . Остаточно маємо:

,звідки і слідує рівність (5).

Теорема доведена.

Теорема 4.

(Диференційованість складної функції ІЗП)

Якщо в умовах теореми 2 неперервна на разом із своєю похідною , а функції і диференційовані на і її похідна обчислюється за формулою:

(6)

Доведення. Позначимо праву частину рівності (6) як і для довільної точки і : розглянемо приріст функції в точці та оцінимо вираз:

За попередньою теоремою першій доданок є , легко також оцінити два інших доданки: , де - проміжна точка, між та . З неперервності маємо:

при . Тоді маємо таку оцінку різниці:

, аналогічно оцінюється третій доданок. Підсумовуючи все це маємо формулу (6).

Нехай тепер , , , тоді можна визначити неперервні функції , на своїх областях визначення. Позначимо:

Інтеграли називаються повторними.

#23. Інтегрування власного інтеграла, залежного від параметра.

Теорема 5.	(Інтегрування по параметру ІЗП)
	Якщо , то .

Доведення. Розглянемо дві функції:

, , , .

Легко побачити за теоремою 3, що , а також . З останньої умови та тотожності слідує рівність , а тому при маємо, що .

Теорема доведена.

Зауважимо, що усі наведені теореми цього розділу є лише достатніми умовами.

#24. Невласні інтеграли, залежні від параметра: означення, рівномірна збіжність, зв^/язок з ф.п. та ф.р. (теорема). Критерій Коші.

Невласні інтеграли 1 роду, залежні від параметра

Нехай , , , . Розглянемо інтеграл:

, , (1)

який називається невласним інтегралом першого роду, залежним від параметра (НІЗП).

Інтеграл називається збіжним на інтервалі (позначимо це таким чином , або ), якщо він збігається , тобто

. (2)

Якщо розписати означення границі за Коші, то одержимо:

: ,

або еквівалентне наведеному:

: . (3)

Збіжний на інтервалі інтеграл називається рівномірно збіжним на (позначимо це таким чином , або ), якщо

: , (4)

або аналогічно можна записати:

: , (5)

Теорема 1.

(Критерій Коші)

Інтеграл збігається рівномірно на інтервалі тоді і тільки тоді, коли

(6)

Доведення. Необхідність. Нехай рівномірно збігається, тобто для нього виконується умова (4), з неї слідує, що :

, .

Необхідність доведена.

Теорема доведена.

6. Невласні інтеграли 2-го роду, залежні від параметра

Нехай , , , і збігається невласний інтеграл другого роду.

(1)

то можна вважати визначеною функцію , яку називатимемо невласним інтегралом другого роду, залежним від параметра .

Інтеграл називається рівномірно збіжним на інтервалі , якщо він збігається на і :

(2)

Невласний інтеграл другого роду (1) очевидною заміною перетворюється в невласний інтеграл першого роду, тому всі попередні твердження легко переформулюються на випадок невласного інтеграла другого роду.

#25 Ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності невласного інтеграла, залежного від параметра.

Теорема 2.	(Мажорантна ознака Вейєрштрасса)
	Для того, щоб інтеграл збігається рівномірно на інтервалі достатньо, щоб існувало таке число і така функція , що справджується нерівність та інтеграл був збіжним.

Доведення. За умовами теореми інтеграл збігається (за мажорантою ознакою при фіксованому ). Із збіжності інтегралу : , внаслідок чого збігається рівномірно.

#26 Ознака Абеля рівномірної збіжності невласного інтеграла, залежного від параметра.

Теорема 3.	(Ознака Абеля)
	Якщо інтеграл збігається рівномірно на проміжку , а функція - обмежена, та монотонна по змінній , то інтеграл збігається рівномірно на .

Доведення. З рівномірної збіжності можемо записати критерій Коші: : , позначимо (при теорема очевидна). З монотонності та інтегрованості на проміжку запишемо другу теорему про середнє:

, а далі з критерію Коші все й слідує.

#27 Ознака Діріхле рівномірної збіжності невласного інтеграла, залежного від параметра.

Теорема 4.	(Ознака Діріхле)
	Якщо функція - монотонна по змінній , а також на проміжку , а функція - обмежена на , то інтеграл збігається рівномірно на .

Доведення. З рівномірної збіжності можемо записати умову: : , позначимо (при теорема очевидна). З монотонності та інтегрованості на проміжку запишемо другу теорему про середнє:

, а далі з критерію Коші все й слідує.

#28 Неперервність невласного інтеграла, залежного від параметра.

Теорема про неперервність інтеграла, залежного від параметра.

Теорема 2.

Якщо функція визначена і неперервна як функція від двох змінних в прямокутнику , то інтеграл є неперервною функцією від параметра .

○ За теоремою Кантора функція , неперервна на компакті, є рівномірно неперервною на цьому компакті, тобто для , що із нерівностей , слідує нерівність . Покладемо , . Тоді при для будь-якого маємо , а це означає, що при (прямує) рівномірно відносно . Відповідно за теоремою 1 отримуємо , тобто , а це означає, що функція є неперервною на відрізку , оскільки – довільна точка цього проміжку. ●

Оскільки функція є неперервною на проміжку , то ця функція є інтегрованою на .

Теорема 2.

Якщо функція є неперервною в прямокутнику , то .

○ Кожен з повторних інтегралів у цій формулі дорівнює подвійному інтегралу від функції на прямокутнику П.●

#29 Інтегрування невласного інтеграла, залежного від параметра (всі випадки).

Безымянный12324234

#31 Інтеграли Ейлера: Г(а), В(а,в) – області збіжності та рівномірної збіжності.

Інтеграли Ейлера: Г(а), В(а,в) – області збіжності та рівномірної збіжності.

(2)

В околі нуля , тому збігається, коли ,а збігається існує при .

Якщо розглянути , то , а інтеграл від функції в правій частині останньої рівності існує, то рівномірно збігається на розглянутому проміжку, тобто є неперервною на будь-якому додатному сегменті , в наслідок довільності та будемо мати, що неперервна .

(1)

Коли ∼0 збіжний при і коли ∼

збіжний при . З цього слідує, що існує у відкритому квадранті . Взявши довільні , і розглянувши область , одержимо, що , тобто інтеграл (1) збігається рівномірно, з чого слідує неперервність .

#32 Інтеграли Ейлера: Г(а) – формула пониження.

Інтеграли Ейлера: Г(а) – формула пониження.

(4)

#33 Інтеграли Ейлера: В(а,в) – симетрія, формула пониження.

Інтеграли Ейлера: В(а,в) – симетрія, формула пониження.


1.(Симетрія)	- доведення через заміну (y = 1-x)	(8)
2.(Формула пониження)		(9)
Доведення.	(9)

Аналогічно має місце.

(10)

#34. Різні формули запису для B(a,b).

- бета функція Ейлера

;

#35. Зв’язок між В(а,в) та Г(а).

#36. Інтеграли Ейлера: формула доповнення.

$\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}$

#37_1 Інтеграл Фур’є: поняття, означення. Теорема про представлення функції інтегралом Фур’є.

Поняття: Якщо для функції функції обчислюються за формулами

, , (1)

то тригонометричний інтеграл

називається інтегралом Фур’є (або повторним інтегралом Фур’є) функції .

Означення: Нехай функція визначена на всій числовій прямій та задовольняє таким умовам:

Функція є обмеженою та абсолютно інтегрованою на , тобто існує невластний інтеграл

2. У будь-якому скінченому проміжку функція розкладається у ряд Фур’ є

(2.1)

де коефіцієнти Фур’є визначаються формулами

(2.2)

Підставивши замість коефіцієнтів і їх вирази, перепишемо ряд у вигляді

Або (2.3)

Достатні ознаки розкладності функції в ряд Фур'є

Крапка розриву функції називають крапкою розриву першого роду, якщо існують кінцеві межі праворуч і ліворуч цієї функції в даній крапці.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Якщо періодична з періодом функція безперервна або має кінцеве число крапок розриву 1-ого роду на відрізку [ ] і цей відрізок можна розбити на кінцеве число частин, у кожному з яких f(x) монотонна, то ряд Фур'є щодо функції сходиться до f(x) у крапках безперервності й до среднеарифметическому однобічних меж у крапках розриву роду (Функція задовольняючим цим умовам називається монотонною-монотонній-кусочно-монотонної).

ТЕОРЕМА 2. Якщо f(x) періодична функція з періодом , що на відрізку [ ] разом зі своєї похідної безперервна або має кінцеве число крапок розриву першого роду, то ряд Фур'є функції f(x) у крапках розриву до середнього арифметичного однобічних меж (Функція задовольняючій цій теоремі називається гладкою-гладкій-гладкої-кусочно-гладкої).

#38 Комплексна форма запису інтеграла Фур’є.

Збіжний інтеграл з рядом Фур’ є:

(2.7)

Перетворимо за допомогою формули Ейлера підінтегральну функцію у формулі (2.7) до наступного вигляду

(2.11)

де позначено

Тоді

(2.12)

Для дістаємо вираз

(2.13)

Звідси

(2.14)

Безпосередньо бачимо, що ці формули не втрачають сенс і при , бо . Тому із формули (2.7) випливає

(2.15)

Отже, в точках неперервності функції

(2.16) де

(2.17)

Вираз для у формі (2.15) називають комплексною формою інтеграла Фур’є для функції .

Зауваження. Множник можна записати у будь - яку з формул (2.16) чи (2.17): у вираз для , як у формулі (2.17), або у формулі (2.16), як це у подальшому буде зроблено для формул перетворення Фур’ є відповідно до стандартів електротехніки.

#39 Інтеграл Фур’є для парних та непарних функцій.

(2.6)

Рівність (2.6) називається інтегральною формулою Фур’є, а інтеграл у її правій частині - інтегралом Фур’є. Зображення функції у вигляді інтеграла Фур’є звичайно називають розкладанням цієї функції в інтеграл Фур’є.

Зауваження 1. Формула (2.6) має сенс тільки для точок неперервності функції , а у кожній точці розриву першого роду, як і для рядів Фур’ є, інтеграл Фур’є збігається до числа

Зауваження 2.

Якщо функція - парна, то та інтеграл Фур’є для такої функції має вигляд

(2.9)

У випадку непарної функції

інтеграл Фур’є набуває вигляду

(2.10)

#40 Інтеграл Фур’є для парних та непарних функцій.

#41 sin- та cos-перетворення Фур’є.

#42 Межові, внутрішні, граничні точки, область і т.д. Теорема про віддільність 2-ох замкнених множин.

#43 Площа плоскої фігури (міра Жордана). Теореми 1 та 1’ про умови квадровності в різних термінах.

#44 Лема про рівність нулю площі спрямної кривої. Властивості площі.

#45 Означення та необхідна умова існування подвійного інтегралу.

#46 Властивості подвійних інтегралів.

#47.Суми Дарбу та їх властивості (для подвійного інтегралу). Критерій існування подвійного інтегралу.

Суми , називаються відповідно верхньою та нижньою інтегральними сумами Дарбу для функції , що відповідають сітковому розбиттю бруса

Нехай - деяке сіткове розбиття бруса на комірки , . Розбиття цього бруса, що утворюється з сіткового розбиття шляхом подальшого сіткового розбиття деяких комірок розбиття на комірки називається продовженням розбиття .

Лема 1.	(Інтегральні суми на продовженому розбитті)
	Нехай - обмежена функція, що визначена на брусі , - продовження сіткового розбиття бруса , тоді виконуються нерівності:
	,	(1)

Обмежена функція називається інтегрованою у розумінні Дарбу на брусі , якщо виконується рівність: . Це спільне значення верхнього та нижнього інтегралів Дарбу для функції називається - кратним (- вимірним) інтегралом Дарбу

Теорема 1.	(Критерій інтегрованості у розумінні Дарбу)
	Функція інтегрована на брусі тоді і тільки тоді, коли існує сіткове розбиття бруса таке, що .
Теорема 2.	(зв’язок інтегрованості за Дарбу та Ріманом)
	Обмежена функція інтегрована за Ріманом на брусі тоді і тільки тоді, коли вона інтегрована у розумінні Дарбу.
Терема 4.	(Лебега – критерій інтегрованості за Ріманом)
	Нехай функція - обмежена, позначимо множину її точок розриву через , тоді множина має лебегову міру нуль.

#48 Класи інтегрованих функцій для подвійних інтегралів.

#49. Адитивна функція області. Похідна по площі.

Функція, аргументом для якої є не окрема точка, а множина називається функцією області.

Функція області F(D) називається адитивною, якщо( 1) F(D) визначена для D1,D2 та для D1 U D2. (2) Якщо D1 та D2 не мають внутрішніх спільних точок, то F(D1;D2)=f(D1)+F(D2)

Ф(D)= через властивість 5 можна стверджувати – адитивна ф-ція області.

Властивість 5. D = D1 U D2 і f інтегровна в D1 та D2 , то f інтегровна і в усій області D та : = +

Похідна по площі.

Нехай F(D) –довільна адитивна функція області визначена для деяких квадровних множин. S(D) – площа кожної розгляненої множини. Число М наз-ся , якщо для

=A = ; якщо то вона називається похідною ф-ції F по площі.

Доведення:

Розглянемо Ф(D) =

М₀(x₀;y₀) D m = inf_D f(x;y)

M = sup_D f (x;y) ;

Rà0 DàM

Якщо f(x;y) – неперервна mà f(M₀) = f(x₀;y₀) ; Màf(x₀;y₀)

=f(x₀;y₀ )

#50. Застосування подвійних інтегралів

Розглянемо на площині деяку область , яка має площу. Нехай в ній розподілена неперервно маса з густиною , тоді число

(2)

називається масою пластинки. Аналогічно в просторі (і в будь-якому ) масою тіла називається величина:

(3)

Якщо це густини розповсюдження заряду, то з цих формул одержимо заряд тіла, але він може приймати і від’ємні значення.

Статичні моменти відносно координатних осей матеріальної пластинки визначаються за формулами:

(4)

Моменти інерції відносно координатних осей матеріальної пластинки визначаються за формулами:

(5)

Координати центра ваги пластинки знаходяться з співвідношення:

(6)

Аналогічно визначаються статичні моменти для просторового тіла .

Статичні моменти відносно координатних площин знаходяться за формулами:

(7)

Моменти інерції:

(8)

#51 Обчислення подвійного інтегралу у випадку прямокутної області інтегрування.

#53. Обчислення подвійного інтегралу у випадку криволінійної області .

Формула Гріна

Функція називається кусково-гладкою, якщо існує таке розбиття сегмента , що звуження є неперервно диференційованими функціями.

Множина називається криволінійною трапецією першого роду, якщо та - кусково-гладкі функції, що визначені на сегменті .

Нехай гладкі орієнтовані криві з параметричними зображеннями , де:

, ,

, .

Теорема 1.

Нехай функції , і неперервні. Тоді

Доведення. Теорема доведена.

Указану межу називають орієнтованою проти руху годинникової стрілки.

Повністю аналогічно визначається трапеція другого роду . При цьому додатна орієнтація буде відповідати руху годинникової стрілки. Додатною орієнтацією будемо вважати ту, яка протилежна рухові годинникової стрілки. В зв’язку з цим аналог формули (1) приймає вигляд:

(2)

зі змінени знак правої частини

#54 Відображення областей. Криволінійні координати. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Полярні координати.

//Розглянемо подвійний інтеграл де D- область, обмежена простим кусково-гладким контуром L,a функція є неперервною в обл. D x=x(), y=y(). Для того щоб змінити зміння перш за все потрібно розбит область D’ на n частинок (), де D’ область на площині O. потім розбивається область D на

Переглянемо перехід в подвійному інтегралі до полярних координат: x= де праві частини є неперервно диференційованими функціями за змінними і . Якобіан

І() ===

Звідци ми отримуємо , де -улумент площі в полярних координатах,D-область інтегрування в декартовій системі координат, D-область інтеграла в полярній системі

Виходячи з декартової системи координат, можна визначити криволіну систему координат, тобто, наприклад, для тривимірного простору числа $(x 1, x 2, x 3)$ , зв'язаних із декартовими координатами $(x, y, z)$ співідношеннями:

$x^1 = x^1(x,y,z), \qquad x^2 = x^2(x,y,z), \qquad x^3 = x^3(x,y,z)$ ,

де всі функції однозначні і неперервно диференційовані, причому якобіан:

$\frac{\partial (x^1, x^2, x^3)}{\partial (x, y, z)} \neq 0$ .

Прикладом криволінійної системи координат на площині є полярна система координат, в якій положення точки задається двома числами: відстанню $ρ$ між точкою та початком координат, і кутом $φ$ між променем, який сполучає початок координат із точкою та обраною віссю. Декартові та полярні координати точки зв'язані між собою формулами:

$x = \rho \sin\varphi$ ,

$y = \rho \cos\varphi$ ,

#55 Об^’єм просторової області (міра Жордана). Кубовні тіла, теореми, властивості кубовних тіл.

#56.Визначення потрійних інтегралів та їх властивості.

Нехай - компакт, , то інтеграл називається подтрійним інтегралом (тут в якості виступає вже тривимірний вектор ) і позначається символом .

Якщо компакт можна подати у вигляді:

, де - кусково-гладкі функції, то повністю аналогічно випадку двовимірного інтегралу можна його звести до повторних таким чином. Якщо існує подвійний інтеграл , то, застосовуючи теорему Фубіні, одержимо:

. (3)

#55. Об^’єм просторової області (міра Жордана). Кубовні тіла, теореми, властивості кубовних тіл.

Означення: елементарним тілом називається об’єднання скінченного числа паралелепіпедів без спільних внутрішніх точо. Об’єм елементарного тіла визначається як сума об’ємів паралелепіпедів

Означення: внутрішнім об’ємом множини А називається тоочна верхня грань об’ємів елементарних тіл вписаних в площину А

Зовнішнім об’ємівмножини А називається точна нижня грань тіл включаючих в себе множину А .

Множина А називається кубованою, якщо внутрішній об’єм дорівнює зовнішньому і це спільне тіло називається об’ємом множини А.

" e > 0 $ R ,Q PÌ A Ì Q V(Q\P)<e Û " P,Q d AÌ Q\P Û V(d A) = 0 Теорема: нехай поверхня S задана рівнянням z = f(x,y) де f(x,y)Ì C(A), AÌ R2 тоді її об’єм = 0 Тгафік перетворення функції двох зміних на квадрованому компакті має об’єм 0

Доведення: розглянемо розбиття множини А площини ХОУ

" e > 0 $ e å ikD xiD yk < S(A) + e

f(x,y)Ì C(A) тому за теоремою Кантора вона рівномірнонеперервна w ik(f) < e Включимо частину поверхні, що лежить через прямокутник D xiD yk висотою 2e і розглянемо об’єднання всіх цих паралелепіпедів D ік

å ikV(D ik) = å ik2e D xiD yk < 2e e(S(A)) + e " e >0 Оскільки e більше 0 графік має об’єм 0.

Нслідок: всі множини, які обмежені графіками неперервних іункцій є кубовними, тобто мають об’єм зокрема поверхня називається кусково-гладкою, якщо її межа складається з скінченного числа графіків функцій z = f(x,y)Ì C1(A) які перетинаються по кусково-гладких кривих. З доведення випливає, що всі області з кусковогладкою межею є кубовними.

#57.Суми Дарбу та їх властивості для потрійного інтегралу

Нехай обмежена на - вимірному брусі функція, - сіткове розбиття бруса на комірки, мірою комірки виступає її об’єм . Позначимо через , . Далі ми проведемо теорію визначення інтеграла Рімана через інтегрованість за Дарбу, аналогічно тому, як це ми зробили у випадку одновимірного інтеграла Рімана. Більшість тверджень доводяться повністю аналогічно одновимірному випадку, а тому залишаємо їх без доведення.

Суми , називаються відповідно верхньою та нижньою інтегральними сумами Дарбу для функції , що відповідають сітковому розбиттю бруса .

Нехай - два сіткових розбиття бруса . Сукупність усіх перетинів комірок розбиття з комірками розбиття та навпаки визначає нове сіткове розбиття бруса , яке називається спільним розбиттям для розбиттів . Воно є продовженням кожного з розбиттів та .

Лема 1.	(Інтегральні суми на продовженому розбитті)
	Нехай - обмежена функція, що визначена на брусі , - продовження сіткового розбиття бруса , тоді виконуються нерівності:
	,	(1)

Наслідок.	(Зв’язок верхніх та нижніх інтегральних сум)
	Для будь-яких двох сіткових розбиттів бруса виконується нерівність:
	,	(2)

Нехай - обмежена функція, що визначена на брусі . Числа , називаються відповідно верхнім та нижнім інтегралом Дарбу від функції на брусі .

Лема 2.	(Зв’язок інтегралів Дарбу)
	Якщо - обмежена функція, що визначена на брусі , то
		(3)

#59 Потрійний інтеграл як адитивна функція області. Похідна по об’єму.

#60. Деякі застосування потрійного інтегралінтеграл потрій обчисеінний

1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою

областю , що має об'єм , то згідно з формулою

Застосування у механіці. Нехай – обмежена замкнена область простору , яку займає деяке матеріальне тіло з густиною , де – неперервна функція в області , тоді: